Join Us On Facebook

Please Wait 10 Seconds...!!!Skip

সাধারণ কিছু গাণিতিক ভুল-২

এখানে সংখ্যা মালা (number system) নিয়ে একটু আলোচনা। তবে শুরুতে কিছু ইংরেজি প্রতিশব্দ জেনে নাও।



বাস্তব সংখ্যা (Real Number): গণিতে অপারদর্শী ছাত্রছাত্রীদের নিকট বাস্তব সংখ্যার ধারণাটা বেশ জটিল। এখানে দু’ভাবে ব্যাখ্যা দেয়া হচ্ছে। (১) যদি তোমার গণিত-জ্ঞান কেবল ১০ম শ্রেণী পর্যন্ত হয়ে থাকে, তবে তোমার পরিচিত  (ধনাত্মক, ঋণাত্মক, শূন্য, গোটা কিংবা ভগ্নাংশ)  ইত্যাদি সকল সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।  (২) যদি জটিল  সংখ্যা সম্বন্ধে তোমার ধারণা থাকে (অর্থাৎ তুমি একাদশ শ্রেণীর শিক্ষার্থী হয়ে থাক), তবে এটুকু মনে রাখলেই চলবে যে i – মুক্ত সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে।    
                       
সকল বাস্তব সংখ্যার সেটকে একটি বিশেষ অক্ষর R দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। মনে  রাখবে, অনেক সময়ে R এর পরিবর্তে  - ∞ < x <∞  অথবা (-∞, ∞) লেখা হয়।                                                                        
বিঃ দ্রঃ  তোমরা অনেকেই চট করে i – যুক্ত সংখ্যা যথাঃ 2 + 3i , 4i   ইত্যাদিকে ‘অবাস্তব’ সংখ্যা বলে অভিহিত করে থাক। ইহা একটি মারাত্মক ভুল। আসলে এগুলোকে বলে ‘জটিল সংখ্যা (complex number)’। খুব ভাল করে মনে রাখবে, গোটা গণিতশাস্ত্রের কোথাও ‘অবাস্তব সংখ্যা’ বলে কিছু নেই।  অতএব, এ ভুলটি আজ থেকে ...... ?



উপরে উদ্ধৃত শ্রেণীবিন্যাস থেকে বুঝা যায়:
(১). যে কোন বাস্তব সংখ্যা হয় মুলদ নয় অমুলদ হবে।
(২). এমন কোন বাস্তব সংখ্যা নেই যেটা একই সাথে মুলদ এবং অমুলদ ।                              

তবে এমন কিছু বাস্তব সংখ্যা আছে যেগুলো মুলদ নাকি অমুলদ  আজ পর্যন্ত নির্ধারণ করা যায় নি। তেমন একটি সংখ্যা হল Euler’s constant যাকে γ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। γ ≅ 0.57721.......  ।  উচ্চতর গণিতে তোমরা এ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে পারবে। [ এ বিষয়গুলো সমাধান করার জন্য মোটা অঙ্কের পুরষ্কার ঘোষণা করা আছে! তোমরা কি আগ্রহান্বিত হচ্ছ ? যদি হয়ে থাক, তবে এখন থেকেই ভাল করে, খুঁটিনাটি বুঝে নিয়ে গণিত চর্চায় ব্যাপৃত হও। Fortune favours the brave. ]                                                                                                                
প্রঃ অমুলদ  (irrational) সংখ্যা কয়টি ?                                                                                  
উঃ গণিতবিদরা প্রমাণ করেছেন যে এই সংখ্যাগুলোকে গণনা করা যায় না। এজন্য গণিত বইতে লেখা থাকে Q^c  is uncountable.                                                                                      
প্রঃ বাস্তব (real) সংখ্যা কয়টি ?                                                                                  
উঃ এখন ইহা খুবই সহজবোধ্য যে, বাস্তব সংখ্যাগুলোকেও গণনা করা সম্ভবপর নয়। অতএব,  R is uncountable.                                                                                      
প্রঃ মুলদ  (rational) সংখ্যা কয়টি ?                                                                                  
উঃ নিঃসন্দেহে অসংখ্য। তবে তোমরা শুনে অবাক হবে যে, গণিতবিদরা প্রমাণ করেছেন যে এই সংখ্যাগুলোকে গণনা করা যায় । এজন্য গণিত বইতে লেখা থাকে Q is countable.  [ বিস্তারিত আলোচনা উচ্চতর গণিতের অন্তর্গত]                                                              
প্রঃ মুলদ সংখ্যার দশমিক(decimal) রূপ কেমন হয় ?                                                                      
উঃ উহা হয় সসীম(finite) হবে যেমনঃ 9/4=2.25 , নয় আবৃত্ত(recurring) হবে যেমনঃ   1/3=0.3 ̇ ।           প্রঃ একটি অমুলদ সংখ্যার দশমিক রূপ কেমন হয় ?                                                                
উঃ উহা একটি অসীম দশমিক (infinite but non-recurring) হবে ।  যেমনঃ  √2 = 1.4142135.......   ।                                                                                  

π     এবং    e        

এ দুটো হচ্ছে সবচে বিখ্যাত এবং গুরুত্বপূর্ণ অমুলদ  রাশি। যেহেতু অমূলদ, অতএব, উহাদের প্রকৃত মান (exact value)  কখনো লেখা সম্ভব না। গণিতের বইতে এই ২টি সংখ্যাকে অনেকভাবেই বিবৃত করা হয়ে থাকে, তবে মূলতঃ  π  হচ্ছে একটি অনুপাত এবং  e  হচ্ছে একটি অসীম ধারা।  π = যে কোন বৃত্তের পরিধি  ∶  ঐ বৃত্তের ব্যস  । e  =  1+1/1!+1/2!+1/3!+⋯   ।                                                                            
অনেক বইতে তোমরা দেখতে পাও  π = ৩.১৪ কিম্বা π =  22/7  লেখা আছে।  আসলে এখানে ‘=’ চিহ্নটি  ‘≅(আসন্নমান)’ অর্থে ব্যবহার করা হয়েছে। অনুরূপভাবে  e = 2.718  দেখলেও বুঝবে যে এখানে আসলে e ≅ 2.718.

বেখেয়ালে ভুল :   অনেকে চট করে  cos⁡7π = cos (7×22/7 ) = cos⁡22  লিখে ফেল। ইহা অনেক বড় একটি ভুল। কারণ, cos, sin ... ইত্যাদি ক্ষেত্রে π দ্বারা সর্বদা π radian বুঝায় এবং প্রথামত radian কথাটি উহ্য রাখা হয়। আর  π radian = 〖180〗^0. অতএব, cos⁡7π = cos⁡〖7×〖180〗^0 〗 = cos⁡〖〖1260〗^0 〗 . এরূপে অন্যান্য trigonometric function এর বেলাতেও সতর্ক থাকবে।


Euler’s Theorem 

এই বিখ্যাত কিন্তু অতি প্রয়োজনীয় উপপাদ্য(theorem)টি হলঃ
e^iθ=  cos⁡θ + i sin⁡θ .

এই উপপাদ্যটির মাধ্যমে  অমুলদ সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা এবং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে এক সূতায় গাঁথা হয়েছে। তবে ইহার ব্যবহারে বিশেষভাবে সতর্ক থাকতে হবে যাতে θ – র radian পরিমাপ হিসাব করা হয়, অন্যথায় ভুল result আসবে। যেমনঃ

   θ = 〖180〗^0 হলে  e^(i(180))=  cos⁡180 + i sin⁡180   ভুল ;          
কিন্তু θ = π radian হলে e^iπ=  cos⁡π + i sin⁡π  = –1 + 0 = –1 শুদ্ধ। 



[চলবে]

লেখাটি সঠিকভাবে পড়তে নিচের ছবিতে বা লিঙ্কে ক্লিক করে PDF ফরম্যাটে পড়তে পারেন এবং ডাউনলোড করতে পারেন। 


লেখকঃ
শিক্ষাবিদ ও কথাসাহিত্যিক
মোহাম্মদ সালেক পারভেজ
সহকারী অধ্যাপক,
ড্যাফোডিল ইন্টারন্যাশনাল ইউনিভারসিটি, ঢাকা ১২০৭
ই-মেইল : sparvez@daffodilvarsity.edu.bd 

কোন মন্তব্য নেই:

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন