Join Us On Facebook

Please Wait 10 Seconds...!!!Skip

সাধারণ কিছু গাণিতিক ভুল-১

[ আমি বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়াই ১ম ক্লাসেই যে সকল ছাত্র-ছাত্রীকে পাই, তারা ইতিপূর্বে ১২ টি বৎসর ধরে স্কুলে এবং কলেজে গণিত পড়ে এসেছে। তারপরেও ওদের মধ্যে এমন কিছু গলৎ ধারণা থাকে,  যে গুলোকে শোধরাতে আমাকে বেশ বেগ পেতে হয়। এমন কিছু জরুরী বিষয় নিয়েই বক্ষ্যমাণ নিবন্ধটি।]      

ক্ষুদ্র-র গাণিতিক ধারণা: দৈনন্দিন জীবনে কিন্তু গণিতের ছাত্র মাত্রই জানে যে -1<0 এবং  -4<-3<-2<-1  . এখন যদি তাকে প্রশ্ন করা হয় সবচে ক্ষুদ্র সংখ্যাটি কি ? সে উত্তর করবে বলা সম্ভব নয়, কারণ যেই ক্ষুদ্র সংখ্যাটি উল্লেখ করবে, অন্য এক জন ঐটির চেয়েও ক্ষুদ্রতর একটি সংখ্যা উল্লেখ করতে সমর্থ হবে।   




অসীম: গণিতশাস্ত্রের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি ধারণা হল অসীম। প্রকৃতপক্ষে গণিত অধ্যায়ন ব্যতীত অসীমের সঠিক উপলব্ধি বেশ দুরূহ ব্যাপার। প্রথমেই বুঝা উচিৎ যে ‘অসীম’ বলতে কেবল একটি মান/পরিমাণকে বুঝায়, একাধিককে নয়। কিন্তু সেই মানটি এত বেশী বড় যে, কোন গাণিতিক সূত্রের  সাহায্যে উহাকে নির্ণয় করা যায় না। যেমন   tan 0o = 0, tan 30o = √3,  tan 45o = 1,  tan 150o = -√3  হয়  অর্থাৎ যে কোন কোণের  tangent নিলে একটিমাত্র মান পাওয়া যায়।
সুতরাং ইহা প্রত্যাশা করা যেতে পারেই যে  tan 90o-র বেলাতেও কেবল একটি মানই থাকবে। আসলেও ব্যাপারটি তাই। কিন্তু মানটি এত বেশী বড় যে, কোন গাণিতিক সূত্রের মাধ্যমে উহাকে সুনির্দিষ্ট ভাবে বের করা যায় না। অতএব, উহাকে ‘অসীম’ বলা ভিন্ন গত্যন্তর নেই। বর্ণনার অতীত এই বিশাল মানটিকে প্রকাশ করার জন্য গণিতবিদরা ∞ (infinity) চিহ্নটি ব্যবহার করেন। এজন্য বইতে লেখা হয় tan 90o = ∞. আবার বলছি,  ∞  দ্বারা tan 90o –র মান বুঝায় না,  একটি ধারনাকে বুঝায় যে tan 90o –র মানটি আমরা যাহাই কল্পনা করি না কেন, তার চেয়েও বড়। আর যেহেতু মানটিকে সুনির্দিষ্টভাবে নির্ণয় করা যাচ্ছে না, অনেকে এত ঝামেলায় না গিয়ে সরাসরি লিখে দিন tan 90o =  undefined ( অসংজ্ঞায়িত )। ঠিক একই যুক্তিতে,  কোন কিছু যদি গাণিতিকভাবে এত ক্ষুদ্র হয় যে উহাকে সুনির্দিষ্টভাবে নির্ণয় অসম্ভব অর্থাৎ উহা আমাদের কল্পনার যে কোন সংখ্যার চেয়েও ক্ষুদ্রতর তখনও আমরা undefined (অসংজ্ঞায়িত) কথাটি ব্যবহার করি। তবে এক্ষেত্রে চিহ্ন হিসাবে -∞ ব্যবহার করা হয়। এজন্য দেখবে যে বইতে লেখা থাকে log 0 = -∞.

অসংখ্য: অসংখ্য(infinite) বলতে একাধিক কোন কিছুকে বুঝায়। হতে পারে জিনিসগুলো পৃথকভাবে খুব বড় অথবা খুব ক্ষুদ্র। এই অসংখ্য জিনিসটা আবার দুধরণের।  যেমন তোমাকে যদি বলা হয় ধনাত্মক জোড় সংখ্যাগুলো লিখ, তবে তুমি লিখবে: 2 (১ম সংখ্যা),4(২য় সংখ্যা),6(৩য় সংখ্যা),8,10,12,  ……কিন্তু কিয়ামত তক লিখে গেলেও তুমি লিখে শেষ করতে পারবে না। অর্থাৎ you can count but you cant finish the counting. এ জাতিয় স্থানে গণিত শাস্ত্রে countably infinite অথবা শুধু countable কথাটি ব্যবহার করা হয়। অন্যদিকে তোমাকে যদি বলা হয় যে, 0 এবং 1 এর মধ্যবর্তী সবগুলো সংখ্যা লিখ তবে বিলক্ষণ বুঝতে পারছ যে এখানেও অসংখ্য সংখ্যা আছে,  কিন্তু তুমি লিখতে পারছ না। কেন ? এর উত্তর হল: 0-এর পরবর্তী ১ম সংখ্যাটিই তুমি নির্ণয় করতে অক্ষম। ফলে you cant start counting. এহেন পরিস্থিতিতে গণিতবিদরা uncountably infinite কিংবা শুধু uncountable কথাটি ব্যবহার করে থাকেন।  

±∞ :  ∞  এবং  - ∞ , এ  দু’টি  কোন সংখ্যা নয়, প্রতীক মাত্র। অতএব, লক্ষ্য কর : 5 < x < ∞  এবং  5 < x  একই  অর্থ বহন করে। আবার  - ∞ <  x < 5  এবং  x < 5  একই অর্থ বহন করে। 

⋯ : গাণিতিকভাবে কোন কিছুর pattern বুঝানোর জন্য 3টি কমা বিশিষ্ট  ‘⋯’ চিহ্নটি ব্যবহার করা হয় । ইহার নাম ellipsis. তবে ইহার ব্যবহারে সতর্কতা প্রয়োজন। নচেৎ মূল বিষয়টি বোধগম্য হয় না। যেমন: 1,2,3, ⋯ দ্বারা প্রাকৃতিক সংখ্যা সমূহকে বুঝায়। কিন্তু 1,2, ⋯ দুর্বোধ্য। কারণ পরবর্তী সংখ্যাটি 3 নাকি 4 উহা বুঝার উপায় নেই। 

{1,4,7, ., 13-তম পদ পর্যন্ত}, {2,4,6, } এবং {1,3,5, , n- তম পদ পর্যন্ত} এর পার্থক্য :  (). {1,4,7, ., 13-তম পদ পর্যন্ত}: ইহা একটি সসীম (finite) সেট যাহার পদের সংখ্যা সুনির্দিষ্ট (fixed)ইহার পরিপূর্ণ রূপ: {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37}.  (). {2,4,6, }: এই সেটটি অসীম (প্রকৃতপক্ষে countably infinite) ; ইহাকে পুরোপুরি লেখা কখনোই সম্ভব নয় তবে যত পদ ইচ্ছা, তত পদ পর্যন্ত লেখা যাবে  ().{1,3,5, , n- তম পদ পর্যন্ত}: এই সেটটি কিন্তু সসীম, তবে ইহার পদ সংখ্যা অনির্দিষ্ট (not fixed) ইহাকেও পরিপূর্ণ রূপে লেখা যাবে, তবে প্রথমে n- এর মান ঠিক করে নিতে হবে যথাঃ n = 2,5  এবং 13  হলে সেটটি যথাক্রমে হবে: {1,3}, (1,3,5,7,9} এবং {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,15}.               


[চলবে]

লেখাটি সঠিকভাবে পড়তে নিচের ছবিতে বা লিঙ্কে ক্লিক করে PDF ফরম্যাটে পড়তে পারেন এবং ডাউনলোড করতে পারেন। 


লেখকঃ
শিক্ষাবিদ ও কথাসাহিত্যিক
মোহাম্মদ সালেক পারভেজ
সহকারী অধ্যাপক,
ড্যাফোডিল ইন্টারন্যাশনাল ইউনিভারসিটি, ঢাকা ১২০৭
ই-মেইল : sparvez@daffodilvarsity.edu.bd 


কোন মন্তব্য নেই:

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন